Bài 162 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

a. Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao ?

b. Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c. Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ?

Lời giải chi tiết

a. Xét tứ giác AEFD:

AB // CD (gt) hay AE // FD

AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (gt)

FD = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (gt)

Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra: AE = FD

Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Lại có AD = AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB

Vậy tứ giác AEFD là hình thoi.

Xét tứ giác AECF : AE // CF (gt)

AE = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (gt)

CF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (gt)

Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra: AE = CF

Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp canh đối song song và bằng nhau)

b. Tứ giác AECF là hình thoi

⇒ AF ⊥ ED ⇒ \(\widehat {EMF} = {90^0}\)

Mà AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành)

Suy ra: CE ⊥ ED \( \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\)

Xét tứ giác EBFD ta có: EB = FD (vì cùng bằng AE) và EB // FD (vì AB // CD)

Xét tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

⇒ DE // BF

Suy ra: \(BF ⊥ AF  ⇒ \widehat {MFN} = 90°\)

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

c. 

Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF

ME = \(\dfrac{1}2\)DE (tính chất hình thoi AEFD)

MF = \(\dfrac{1}2\)AF (tính chất hình thoi AEFD)

Suy ra: DE = AF

⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau)

⇒ \(\widehat A = {90^0}\)  ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật

Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒\(\widehat A = {90^0}\)

Hình thoi AEFD có \(\widehat A = {90^0}\) nên AEFD là hình vuông

⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông)

Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có hai cạnh kề bằng nhau)

Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD.