Bài 163 trang 100 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ?

b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm.

c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác DEBF: AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) hay DF // EB

EB = \(\displaystyle {1 \over 2}\)AB (do E là trung điểm của AB)

DF = \(\displaystyle {1 \over 2}\)CD (do F là trung điểm của DC)

Mà AB=CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra: EB = DF

Vậy tứ giác DEBF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

OB = OD (tính chất hình bình hành ABCD)

Vì tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD

Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn

c. Vì DEBF là hình bình hành nên DE//BF

Suy ra \(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (so le trong)

Xét ∆ EOM và ∆ FON:

\(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (chứng minh trên)

OE = OF (tính chất hình bình hành DEBF)

\(\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\)  (đối đỉnh)

Do đó : \(∆ EOM = ∆ FON (g.c.g)\)\( ⇒ OM = ON\)

Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)