Bài 1.59 trang 24 SBT hình học 12

Giải bài 1.59 trang 24 sách bài tập hình học 12. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD...


Đề bài

Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\). Mặt phẳng \(\left( {MB'D'N} \right)\) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(A\). Thể tích của khối đa diện \(\left( H \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{9}\)                B. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)                D. \(\dfrac{{7{a^3}}}{{24}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Kéo dài \(B'M,D'N\) cắt \(A'A\) tại \(S\).

- Tính thể tích khối chóp \(S.A'B'D'\) và \(S.AMN\) rồi suy ra đáp số.

Lời giải chi tiết

Kéo dài \(B'M,D'N\) cắt nhau tại \(S\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = B'M\\\left( {B'MND'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = D'N\\\left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right) = A'A\\B'M \cap D'N = \left\{ S \right\}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S \in A'A\).

Lại có \(\dfrac{{SA}}{{SA'}} = \dfrac{{SN}}{{SD'}} = \dfrac{{AN}}{{A'D'}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow SA = \dfrac{1}{2}SA'\) hay \(A\) là trung điểm của \(SA'\) hay \(SA = A'A = a\).

Ta có: \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{AMN}}\) \( = \dfrac{1}{3}a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{{24}}\).

\({V_{S.A'B'D'}} = \dfrac{1}{3}SA'.{S_{A'B'D'}}\) \( = \dfrac{1}{3}2a.\dfrac{1}{2}a.a = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).

Vậy \({V_{AMN.A'B'D'}} = {V_{S.A'B'D'}} - {V_{S.AMN}}\) \( = \dfrac{{{a^3}}}{3} - \dfrac{{{a^3}}}{{24}} = \dfrac{{7{a^3}}}{{24}}\).

Chọn D.

Bài giải tiếp theo



Từ khóa phổ biến