Bài 1.56 trang 23 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang vuông ở \(A\) và \(D\), cạnh đáy \(AB = a\), cạnh đáy \(CD = 2a\), \(AD = a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên đáy trùng với trung điểm của \(CD\). Biết rằng diện tích mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{3{a^2}}}{2}\). Thể tích của hình chóp \(S.ABCD\) bằng:

A. \({a^3}\)                   B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{2}\)

C. \(3{a^3}\)                 D. \(3\sqrt 2 {a^3}\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(DC\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(HB = AD = a,HC = HD = \frac{1}{2}DC = a\)

\(\Rightarrow HB = HC = a \) \(\Rightarrow \Delta HBC\) vuông cân tại H.

\( \Rightarrow BC = \sqrt {H{B^2} + H{C^2}}  \) \(= \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Xét tam giác SHB và SHC có:

HB=HC

SH chung

\(\widehat {SHB} = \widehat {SHC} = {90^0}\)

Do đó \(\Delta SHB = \Delta SHC\left( {c - g - c} \right) \)

\(\Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S

\( \Rightarrow SM\) vừa là trung tuyến vừa là đường cao.

Lại có \({S_{SBC}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) có \(HM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}}  = 2a\)

Diện tích hình thang \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {a + 2a} \right).a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\)

Vậy thể tích \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}}}{2}.2a = {a^3}\).

Chọn A.