Bài 1.51 trang 23 SBT hình học 12

Giải bài 1.51 trang 23 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a...


Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), diện tích một mặt bên bằng \(\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}\). Thể tích của hình chóp bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{{24}}{a^3}\)                  B. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}{a^3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{4}{a^3}\)                  D. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{12}}{a^3}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \(O\) là tâm tam giác đáy, \(N\) là trung điểm \(AB\).

- Tính độ dài chiều cao và diện tích đáy.

- Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).

Lời giải chi tiết

Tam giác \(ABC\) đều có \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow ON = \dfrac{1}{3}CN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Tam giác \(SAB\) có \({S_{SAB}} = \dfrac{1}{2}AB.SN\) \( \Rightarrow SN = \dfrac{{2{S_{SAB}}}}{{AB}} = \dfrac{{2.\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{{12}}}}{a} = \dfrac{{5\sqrt 3 a}}{6}\).

Tam giác \(SON\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{N^2} - O{N^2}} \) \( = \sqrt {\dfrac{{75{a^2}}}{{36}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{36}}}  = a\sqrt 2 \)

Vậy thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABC}}\) \( = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Chọn B.



Từ khóa phổ biến