Bài 150 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho một hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Lời giải chi tiết

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: \(\widehat A,\widehat B,\widehat C,\widehat D\) theo thứ tự cắt nhau tại \(E,\, H,\, F,\, G.\)

Trong \(∆ ADG\) ta có: \(\widehat {GAD} = {45^0};\widehat {GDA} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆ GAD\) vuông cân tại \(G\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân) 

\( \Rightarrow \widehat {AGD} = {90^0}\) và \(GD = GA\)

\( \Rightarrow \widehat {FGE} = \widehat {AGD} = {90^0}\) (hai góc đối đỉnh)

Trong \(∆ BHC\) ta có:

\(\widehat {HBC} = {45^0};\widehat {HCB} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆HBC\) vuông cân tại \(H\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân)

\( \Rightarrow \widehat {BHC} = {90^0}\) và \(HB = HC\)

Trong \(∆ FDC\) ta có: \({\widehat D_1} = {45^0};{\widehat C_1} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

\(⇒ ∆ FDC\) vuông cân tại \(F\) (tam giác có 2 góc bằng \(45^0\) là tam giác vuông cân)

\( \Rightarrow \widehat F = {90^0}\) và \(FD = FC\)

Suy ra tứ giác \(EHFG\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

Xét \(∆ GAD\) và \(∆ HBC :\)

\(\widehat {GAD} = \widehat {HBC} = {45^0}\)

\(AD = BC\) (tính chất hình chữ nhật)

\(\widehat {GDA} = \widehat {HCB} = {45^0}\)

Do đó: \(∆ GAD = ∆ HBC\, (g.c.g)\) \(⇒ GD = HC\)

\(FD = FC\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(FD-GD=FC-HC\) hay \(FG = FH\)

Vậy hình chữ nhật \(EHFG\) có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.