Bài 146 trang 98 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(I\) nằm giữa \(B\) và \(C.\)

Qua \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AC\) ở \(H.\)

Qua \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(AC,\) cắt \(AB\) ở \(K.\)

a. Tứ giác \(AHIK\) là hình gì ?

b. Điểm \(I\) nằm ở vị trí nào trên cạnh \(BC\) thì tứ giác \(AHIK\) là hình thoi ?

c. Tam giác \(ABC\) có điều kiện gì thì tứ giác \(AHIK\) là hình chữ nhật ?

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(IK // AC\) (gt) hay \(IK // AH\) 

Lại có \(IH // AB\) (gt) hay \(IH // AK\)

Vậy tứ giác \(AHIK\) là hình bình hành (theo định nghĩa)

b. Hình bình hành \(AHIK\) là hình thoi nên đường chéo \(AI\) là phân giác.

Ngược lại \(AI\) là phân giác góc BAC. Hình bình hành \(AHIK\) có đường chéo là phân giác của một góc nên hình bình hành \(AHIK\) là hình thoi.

Vậy nếu \(I\) là giao điểm của đường phân giác của với cạnh \(BC\) thì tứ giác \(AHIK\) là hình thoi.

c. Hình bình hành \(AHIK\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow \widehat A = {90^0}\) suy ra \(∆ ABC\) vuông tại \(A\)

Ngược lại \(∆ ABC\) có \(\widehat A = {90^0}\)

Suy ra: Hình bình hành \(AHIK\) là hình chữ nhật.

Vậy nếu \(∆ ABC\) vuông tại \(A\) thì tứ giác \(AHIK\) là hình chữ nhật.