Bài 142 trang 97 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD,\) các đường chéo cắt nhau ở \(O.\) Gọi \(E,\, F,\, G,\, H\) theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác \(AOB,\, BOC,\, COD,\, DOA.\) Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {EOB} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt)

\(\widehat {COG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\)

\(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} \)\(= 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\)

mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù)

hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\)

Suy ra: \(E,\, O,\, G\) thẳng hàng

Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {HOD} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt)

\(\widehat {FOC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\)

\(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC}\)\( = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\)

mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù)

hay \(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\)             

Suy ra: \(H,\, O,\, F\) thẳng hàng

\(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong)

\(\widehat {HDO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt)

\(\widehat {FBO} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\)

- Xét \(∆ BFO\) và \(∆ DHO:\)

\(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên)

\(OD = OB\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(∆ BFO = ∆ DHO \,(g.c.g)\)

\(⇒ OF = OH\)

\(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong)

\(\widehat {OAE} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt)

\(\widehat {OCG} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt)

Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\)       

- Xét \(∆ OAE\) và \(∆ OCG:\)

\(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên)

\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(∆ OAE = ∆ OCG \,(g.c.g)\)

\(⇒ OE = OG\)

Suy ra: Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có OE là tia phân giác góc AOB và OF là tia phân giác góc BOC

Mà hai góc AOB và BOC kề bù

Nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau)

hay \(EG ⊥ FH\)

Vậy: Tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.