Bài 1.33 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \((H)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}}\).

Lời giải chi tiết

Gọi cạnh của tứ diện đều là \(a\) thì cạnh của hình bát diện đều \(\left( H \right)\) là \(\dfrac{a}{2}\).

+) Tính thể tích tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(DF = \sqrt {D{A^2} - A{F^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.DF\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

+) Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\).

Xét bát diện đều \(SABCDS'\) có cạnh \(\dfrac{a}{2}\).

Thể tích khối bát diện đều \({V_{\left( H \right)}} = 2{V_{S.ABCD}}\)

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot OA\) \( \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại \(O\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\)

\( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Vậy \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\).