Bài 1.30 trang 20 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình lăng trụ \(ABC.A’B’C’\) có đáy là tam giác vuông cân ở \(C\). Cạnh \(B’B = a\) và tạo với đáy một góc bằng \({60^0}\). Hình chiếu vuông góc hạ từ \(B’\) lên đáy trùng với trọng tâm của tam giác \(ABC\). Tính thể tích khối lăng trụ đó theo \(a\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\), khi đó \(\widehat {B'BG} = {60^0}\)

\( \Rightarrow B'G = BB'\sin {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\) \(BG = BB'\cos {60^0} = \dfrac{a}{2}\).

Gọi \(D\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(BD = \dfrac{3}{2}BG = \dfrac{{3a}}{4}\).

Ta có \(B{C^2} + C{D^2} = B{D^2}\), do đó \(B{C^2} + \dfrac{{B{C^2}}}{4} = \dfrac{{5B{C^2}}}{4} = \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}\)

Suy ra \(B{C^2} = \dfrac{9}{{20}}{a^2},{S_{ABC}} = \dfrac{{B{C^2}}}{2} = \dfrac{9}{{40}}{a^2}\); \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{9{a^2}}}{{40}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{{80}}{a^3}\)