Bài 1.30 trang 37 SBT hình học 11

Cho hình thang \(ABCD\) có \(AB\) song song với \(CD\), \(AD=a\), \(DC=b\) còn hai đỉnh \(A\), \(B\) cố định. Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo.

LG a

Tìm tập hợp các điểm \(C\) khi \(D\) thay đổi.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa: \(T_{\vec v}(M) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {MM'}  = \vec v\).

Lời giải chi tiết:

Dựng hình bình hành \(ADCE\). Ta có \(\vec{DC}=\vec{AE}\) không đổi.

Do \(AE=b\) không đổi, nên \(E\) cố định. Do \(AD=EC=a\) nên khi \(D\) chạy trên đường tròn \((A;a)\) thì  \(C\) chạy trên đường tròn \((E;a)\) là ảnh của \((A;a)\) qua phép tịnh tiến theo \(\vec{AE}\).

LG b

Tìm tập hợp các điểm \(I\) khi \(C\) và \(D\) thay đổi như trong câu a). 

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa phép vị tự:

Cho \(I\) và \(k\ne 0\). Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM}\) được gọi là phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(k\).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng qua \(I\) , song song với \(AD\) cắt \(AE\) tại \(F\).

Ta có \(\dfrac{AI}{IC}=\dfrac{AB}{CD}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AI+IC}=\dfrac{AB}{AB+b}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AB}{AB+b}\)

 \(\Rightarrow\vec{AI}=\dfrac{AB}{AB+b}\vec {AC}\)

Do đó có thể xem \(I\) là ảnh của \(C\) qua phép vị tự tâm \(A\), tỉ số \(\dfrac{AB}{AB+b}\). Vậy khi \(C\) chạy trên \((E;a)\) thì \(I\) chạy trên đường tròn là ảnh của \((E;a)\) qua phép vị tự nói trên.