Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình thoi \( ABCD\) có \(\widehat A = 60^\circ \). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo; \( E, F, G, H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB, BC, CD, DA.\) CHứng minh rằng sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn. 

Lời giải chi tiết

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD\).

* Xét tam giác \(AOB\) có:

\(OE = EB = EA = \dfrac{1}{2}AB\)

Góc \(\widehat A = 60^\circ \) suy ra \(\widehat {OAB} = 30^\circ \):

\(OB = \sin 30^\circ .AB\) hay \(OB = \dfrac{1}{2}AB\)

Vậy \(OE = OB = \dfrac{1}{2}AB\) (1).

Tương tự:

* Xét tam giác \(COB\) có:

\(OF = FB = FC = \dfrac{1}{2}BC\)

Vậy \(OF = OB = \dfrac{1}{2}BC\) (do \(AB = BC\) (2).

* Xét tam giác \(COD\) có:

\(OG = GD = GC = \dfrac{1}{2}DC\)

Ta cũng chứng minh được \(OD = \dfrac{1}{2}DC\)

Vậy \(OF = OD = \dfrac{1}{2}DC\) (3).

* Xét tam giác \(AOD\) có:

\(OH = HD = HA = \dfrac{1}{2}AD\)

Vậy \(OH = OD = \dfrac{1}{2}AD\) (4).

Do \(ABCD\) là hình thoi nên \( AB = BC = DC = AD\) (5)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy ra sáu điểm \(E, B, F, G, D, H\) thuộc cùng một đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\).