Bài 1.3 phần bài tập bổ sung trang 157 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) có \(AB =\) \(3\) cm

Trên tia đối của tia \(BA\) lấy điểm \(K\) sao cho \(BK =\) \(1\) cm

Trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(L\) sao cho \(CL =\) \(1\) cm

Trên tia đối của tia \(DC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(MD =\) \(1\) cm

Trên tia đối của tia \(AD\) lấy điểm N sao cho \(NA =\) \(1\) cm

Chứng minh KLMN là hình vuông

Lời giải chi tiết

Từ đề bài suy ra \(BK=CL\)\(=MD=NA=1cm\)

Xét \(∆ ANK\) và \(∆ BKL:\) 

\(AN = BK\) (gt)

\(\widehat A = \widehat B = 90^\circ \)

\(AK = BL\) (vì \(AB = BC,\, BK = CL\))

Do đó \(∆ ANK = ∆ BKL \,(c.g.c)\)

\(⇒ NK = KL \,(1)\)

Xét \(∆ BKL\) và \(∆ CLM:\)

\(BK = CL\) (gt)

\(\widehat B = \widehat C = 90^\circ \)

\(BL = CM\) (vì \(BC = CD, \,CL = DM\))

Do đó:  \(∆ BKL = ∆ CLM (c.g.c)\)

\(⇒ KL = LM \,(2)\)

Xét \(∆ CLM\) và \(∆ DMN :\)

\(CL = DM\) (gt)

\(\widehat C = \widehat D = 90^\circ \)

\(CM = DN\) (vì \(CD = DA,\, DM = AN\))

Do đó: \(∆ CLM = ∆ DMN (c.g.c)\)

\(⇒ LM = MN \,(3)\)

Từ \((1), (2)\) và \((3)\) \(⇒ NK = KL = LM = MN\)

Tứ giác \(MNKL\) là hình thoi

\(∆ ANK = ∆ BKL\) \( \Rightarrow \widehat {ANK} = \widehat {BKL}\)

Trong tam giác \(ANK\) có \(\widehat A = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ANK} + \widehat {AKN} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {BKL} + \widehat {AKN} = 90^\circ \)hay \(\widehat {NKL} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác \(MNKL\) là hình vuông.