Bài 1.24 trang 25 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\sin 3x-\cos x=0\) thuộc đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là

A. \(\dfrac{3\pi}{2}\)                B. \(\dfrac{4\pi}{3}\)

C. \(\dfrac{5\pi}{4}\)                D. \(\pi\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\sin 3x-\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x\)

\(\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} 
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Trong đoạn \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\), với \(x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}\) ta có 4 giá trị là \(-\dfrac{3\pi}{8}\), \(\dfrac{\pi}{8}\), \(\dfrac{5\pi}{8}\) và \(\dfrac{9\pi}{8}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\), \(1\) và \(2\) trong đó \(\dfrac{9\pi}{8}\) là giá trị lớn nhất.

Với \(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\) ta có 2 giá trị là \(\dfrac{\pi}{4}\) và\(\dfrac{5\pi}{4}\) ứng với các giá trị \(k=-1\), \(0\) và \(1\) trong đó \(\dfrac{5\pi}{4}\) là giá trị lớn nhất.

Vì \(\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}\) nên \(\dfrac{5\pi}{4}\) là nghiệm lớn nhất của phương trình trong \(\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)

Đáp án: C.

Cách trắc nghiệm:

Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.

Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx ≠ 0 nên phương án B bị loại.

Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-√2)/2, cos5π/3 = (-√2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.