Bài 1.14 trang 23 SBT đại số và giải tích 11

Giải các phương trình:

LG a

\(\sin 3x =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(\sin x=a\)

Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm

Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sin(\arcsin(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}))\)

\(=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

Khi đó: \(\sin 3x=\sin (-\dfrac{\pi}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-({-\dfrac{\pi}{3}})+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\\ x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có các nghiệm là:

\(x = -\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\dfrac{4\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3} ,k \in \mathbb{Z}\)

LG b

\(\sin (2x-15^o)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(sin x=a\)

Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm

Nếu \(|a|\le 1\) có \(\beta^o\) thỏa mãn \(\sin\beta^o=a\)
trong đó \(\beta^o=\arcsin a\)

Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sin ({45}^o)\)

Khi đó: \(\sin(2x-{15}^o)=\sin ({45}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-{15}^o = {45}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ 2x-{15}^o = {135}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = {30}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = {75}^o+k{180}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

LG c

\(\sin (\dfrac{x}{2}+10^o)=-\dfrac{1}{2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình \(sin x=a\)

Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm

Nếu \(|a|\le 1\) có \(\beta^o\) thỏa mãn \(\sin\beta^o=a\)

trong đó \(\beta^o=\arcsin a\)

Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x={180}^o-\beta^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(-\dfrac{1}{2}=\sin (-{30}^o)\)

Khi đó: \(\sin(\dfrac{x}{2}+{10}^o)=\sin (-{30}^o)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{x}{2}+{10}^o = -{30}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ \dfrac{x}{2}+{10}^o = {210}^o+k{360}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\\ x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy nghiệm của phương trình là:

\(x = -{80}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

và \( x = {400}^o+k{720}^o ,k \in \mathbb{Z}\)

LG d

\(\sin 4x=\dfrac{2}{3}\).

Phương pháp giải:

Phương trình \(sin x=a\)

Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm

Nếu \(|a|\le 1\) có \(\alpha\) thỏa mãn \(\sin\alpha=a\)

trong đó \(\alpha=\arcsin a\)

Khi đó phương trình có nghiệm là \(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{2}{3}=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

Khi đó: \(\sin 4x=\sin(\arcsin\dfrac{2}{3})\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\4x= \pi-\arcsin\dfrac{2}{3}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có các nghiệm là:

\(x = \dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{1}{4}\arcsin\dfrac{2}{3}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\)