Bài 1.17 trang 24 SBT đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

LG a

\(\cos 3x - \sin 2x = 0\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\cos a=\cos b\)

Khi đó \(a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos 3x-\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x\)

\(\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\
3x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5},k\in\mathbb{Z} \\
x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k\in\mathbb{Z} 
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

và \(x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

LG b

\(\tan x\tan 2x = -1\)

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của \(\tan x\) và \(\tan 2x\) là \(\cos x\ne0\) và \(\cos 2x\ne0\)

Biến đổi \(\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}\)

Áp dụng công thức cosin của một hiệu: \(\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right. \)

Ta có: \(\tan x\tan 2x = -1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1\)

\(\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x\)

\(\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos x=0\)

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

LG c

\(\sin 3x+\sin 5x = 0\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng \(\sin a=\sin b\)

Khi đó \(a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\) và \(a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\sin 3x+\sin 5x=0\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
8x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\
2x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} 
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là:

\(x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\)

và \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

Cách khác:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 4x = 0\\
\cos x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{4}, k\in\mathbb{Z}\\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in\mathbb{Z} 
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG d

\(\cot 2x\cot 3x= 1\).

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và \(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\)

Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

Tìm điều kiện xác định của \(\cot 2x\) và \(\cot 3x\) là \(\sin 2x\ne0\) và \(\sin 3x\ne0\)

Biến đổi \(\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)

Áp dụng công thức cosin của một tổng: \(\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Ta có: \(\cot 2x\cot 3x = 1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1\)

\(\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x\)

\(\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0\)

\(\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0\)

\(\Leftrightarrow \cos 5x=0\)

\(\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

Với điều kiện ở trên khi đó:

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}\)

với \(k\ne\dfrac{5m-1}{2}\) và \(k\ne\dfrac{10m-3}{6}\)  \(m\in\mathbb{Z}\).

Chú ý:

Một cách loại nghiệm khác như sau:

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

\(\begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{10}} + \left( {2 + 5m} \right).\frac{\pi }{5}\\
= \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} + m\pi \\
= \frac{\pi }{2} + m\pi
\end{array}\)

nên k = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác định.