Bài 1.23 trang 33 SBT hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(2x+y-4=0\).

LG a

Hãy viết phương trình của đường thẳng \(d_1\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=3\).

Phương pháp giải:

Chọn hai điểm thuộc đường thẳng \(d\).

Tìm ảnh của hai điểm đó qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=3\).

Sử dụng tính chất:

- Giả sử \(M’\), \(N’\) theo thứ tự là ảnh của \(M\), \(N\) qua phép vị tự tỉ số \(k\) khi đó \(\vec{M’N’}=k\vec{MN}\).

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ảnh đó. Đường thẳng đi qua hai điểm ảnh đó là đường thẳng phải tìm.

- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm \(A(x_A;y_A)\), \(B(x_B;y_B)\) có dạng \(\dfrac{x-x_B}{x_A-x_B}=\dfrac{y-y_B}{y_A-y_B}\)

Lời giải chi tiết:

Lấy hai điểm \(A(0;4)\) và \(B(2;0)\) thuộc \(d\). Gọi \(A’\), \(B’\) theo thứ tự là ảnh của \(A\),\(B\) và qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=3\). Khi đó ta có \(\vec{OA’}=3\vec{OA}\), \(\vec{OB’}=3\vec{OB}\).

Vì \(\vec{OA}=(0;4)\) nên \(\vec{OA’}=(0;12)\). Do đó \(A’=(0;12)\). Tương tự \(B’=(6;0)\); \(d_1\) chính là đường thẳng \(A’B’\) nên nó có phương trình \(\dfrac{x-6}{-6}=\dfrac{y}{12}\) hay \(2x+y-12=0\).

LG b

Hãy viết phương trình của đường thẳng \(d_2\) là ảnh của \(d\) qua phép vị tự tâm \(I(-1;2)\) tỉ số \(k=-2\). 

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song thì pháp tuyến đường thẳng này bằng \(k\) lần pháp tuyến đường thẳng kia \(k\ne 0\).

Sử dụng định nghĩa phép vị tự: Cho \(I\) và \(k\ne 0\). Phép biến hình biến điểm \(M\) thành điểm \(M’\) sao cho \(\vec{IM’}=k\vec{IM}\) được gội là phép vị tự tâm \(I\), tỉ số \(k\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(d_2\parallel d\) nên phương trình của \(d_2\) có dạng: \(2x+y+C=0\). Gọi \(A’=(x’;y’)\) là ảnh của \(A\) qua phép vị tự đó thì ta có: \(\vec {IA’}=-2\vec{IA}\) hay \(x’+1=-2\), \(y’-2=-4\)

Suy ra \(x’=-3\)\(y’=-2\)

Do \(A’\) thuộc \(d_2\) nên \(2.(-3)-2+C=0\). Từ đó suy ra \(C=8\)

Phương trình của \(d_2\) là \(2x+y+8=0\).