Bài 1.21 trang 28 SBT hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng mỗi phép quay đều có thể xem là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục.

Lời giải chi tiết

Gọi \(Q_{(I,\alpha)}\) là phép quay tâm \(I\) góc \(\alpha\). Lấy đường thẳng \(d\) bất kì qua \(I\). Gọi \(d’\) là ảnh của \(d\) qua phép quay tâm \(I\) góc \(\dfrac{\alpha}{2}\). Lấy điểm \(M\) bất kì và gọi \(M’=Q_{(I,\alpha)}(M)\). Gọi \(M’’\) là ảnh của \(M\) qua phép đối xứng qua trục \(d\). \(M_1\) là ảnh của \(M’’\) qua phép đối xứng qua trục \(d’\). Gọi \(J\) là giao của \(MM’\) với \(d\), \(H\) là giao của \(M’’M_1\) với \(d’\).

Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:

\((IM,IM_1)\)

\(=(IM,IM’’)+(IM’’,IM_1)\)

\(=2(IJ,IM’’)+2(IM’’,IH)\)

\(=2(IJ,IH)=2\dfrac{\alpha}{2}=\alpha=(IM,IM’)\)

Từ đó suy ra \(M’\equiv M_1\). Như vậy \(M’\) có thể xem là ảnh của \(M\) sau khi thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai trục \(d\) và \(d’\).