Đề số 4 - Đề kiểm tra học kì 2 - Toán 7

Đề bài

Câu 1. (4 điểm)

a) Tìm x, biết:\(\dfrac{{x + 2}}{{327}} + \dfrac{{x + 3}}{{326}} + \dfrac{{x + 4}}{{325}} + \dfrac{{x + 5}}{{324}} \)\(\,+ \dfrac{{x + 349}}{5} = 0\)                   

b) Tìm các số nguyên x và y biết: .\(\dfrac{5}{x} + \dfrac{y}{4} = \dfrac{1}{8}\).

Câu 2. (3 điểm)

Cho a, b, c thỏa mãn:

\(\dfrac{{b - c}}{{(a - b)(a - c)}} + \dfrac{{c - a}}{{(b - a)(b - c)}} \)\(\,+ \dfrac{{a - b}}{{(c - a)(c - b)}} = 2018\)

Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{1}{{a - b}} + \dfrac{1}{{b - c}} + \dfrac{1}{{c - a}}\)

Câu 3. (4 điểm)

Cho đa thức: \(P(x)=(a + 9){x^3} + (b + 6)x + 2018\) (a, b là hằng số)

Biết P(-7) = 4. Tính P(7)

Câu 4. (3 điểm)

Hiện nay tuổi cha bằng 2,2 lần tuổi con. Trước đây 25 năm tuổi con bằng \(\dfrac{5}{{41}}\) tuổi cha. Hỏi khi tuổi cha gấp ba lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi?

Câu 5. (6 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác BD của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho AB = BE.

a) Chứng minh BC – BA > CD – DA

b) Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). So sánh EH và EC.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

b)

\(\eqalign{
& {5 \over x} + {y \over 4} = {1 \over 8} \cr
& \Leftrightarrow {5 \over x} + {{2y} \over 8} = {1 \over 8} \cr
& \Leftrightarrow {5 \over x} = {{1 - 2y} \over 8} \cr
& \Leftrightarrow x(1 - 2y) = 40 \cr} \)

\( \Rightarrow 1 - 2y\) là các ước số lẻ của 40 \(\Rightarrow 1 - 2y \in \{  \pm 1; \pm 5\} \)

Câu 2:

Câu 3:

a) 

Ta có: P(7) = (a + 9).7³ + (b + 6).7 + 2018

          P(-7) = (a + 9).(–7)³ + (b + 6).(–7) + 2018

Do đó: P(7) + P(–7) = 2018 + 2018 = 4036

\(\Rightarrow\) P(7) = 4036 – P(–7) = 4036 – 4 = 4032

b) 

- Với x = 2 ta có 2² + 117 = 121 = y²

\(\Rightarrow\) y = 11 (thỏa mãn y là số nguyên tố)

- Với x > 2, do x là số nguyên tố nên x là số lẻ.

Suy ra y² = x² + 117 là số chẵn, y > 2

- Có y là số chẵn, y > 2 mà y là số nguyên tố \(\Rightarrow\) không có giá trị nào của y.

- Vậy x = 2; y = 11.

Câu 4: Gọi tuổi cha và tuổi con hiện nay lần lượt là x và y (tuổi)

(x, y \(\in\) Z, x, y > 0)

Tỉ số giữa tuổi cha và tuổi con hiện nay là \(\dfrac{x}{y} = 2,2 = \dfrac{{11}}{5}\) và trước đây 25 năm là \(\dfrac{{x - 25}}{{y - 25}} = \dfrac{{41}}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{{11}} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{{x - y}}{6}\)

và \(\dfrac{{x - 25}}{{41}} = \dfrac{{y - 25}}{5} = \dfrac{{x - y}}{{36}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{x}{{66}} = \dfrac{y}{{30}} = \dfrac{{x - 25}}{{41}} = \dfrac{{y - 25}}{5} \)\(\,= \dfrac{{x - y}}{{36}} = k\)

\( \Rightarrow k = \dfrac{{x - (x - 25)}}{{66 - 41}} = 1\)

Vậy hiện nay tuổi cha là 66, tuổi con là 30.

Vì k = 1 \(\Rightarrow\) x – y = 36. Gọi tuổi cha và con khi tuổi cha gấ 3 lần tuổi con lần lượt là a và b, ta có a – b = x – y. (Hiệu giữa tuổi cha và con không đổi)

\( \Rightarrow \dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{1} = \dfrac{{a - b}}{{3 - 1}} = \dfrac{{36}}{2} = 18\)

Vậy khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Khi đó con 18 tuổi.

Câu 5:

a) Xét  \(\Delta ABD\) và \(\Delta EBD\)

+) AB = BE

+) DB chung

+) \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\)  (Vì BD là phân giác)

Suy ra: \({\rm{\Delta ABD  =  \Delta EBD}}\) (c.g.c)

- Suy ra DA = DE và DE \(\bot\) BC

Tam giác EDC có: EC > CD – DE = CD – DA

Suy ra BC – BA > CD – DA

Có AH // DE \( \Rightarrow \widehat {{\rm{HAE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{AED}}}\) (SLT)

Tam giác ADE cân \( \Rightarrow \widehat {{\rm{DAE}}}{\rm{  =  }}\widehat {{\rm{AED}}}\)

Suy ra AE là phân giác của \(\widehat {{\text{HAC}}}\)

Kẻ EF \(\bot\) AC \(\Rightarrow\) \(\Delta AHE = \Delta AFE\) (1)

Tam giác EFC vuông tại F \(\Rightarrow\) EC > EF   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) EC > HE.