Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 4 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1.Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, M là điểm bất kì.

a.Chứng minh véc tơ \(\overrightarrow v  = 4\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) không phụ thuộc vào M.

b.Tính độ dài của \(\overrightarrow v \) .

Câu 2.Cho tam giác ABC có M là trung điểm AB và N là điểm trên đoạn BC sao cho BN= 3NC.

a. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AN}  = \dfrac{1 }{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3 }{4}\overrightarrow {AC} \) .

b. Hãy biểu thị véc tơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) .

Câu 3. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho

\(\left| {2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\)\( = \left| {3\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\) .

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(-4;3) và B(2;-5).

a. Tìm tọa độ điểm A’  đối xứng với A qua B.

b. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a.Ta có

\(\overrightarrow v  = 4\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {2\overrightarrow {MA}  - 2\overrightarrow {MC} } \right) \)\(+ \left( {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MD} } \right)\)

\(= \overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {DA} \)

\( =  - \overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} \)

\(=  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( =  - \left( {\overrightarrow {AC}  + 2\overrightarrow {AC} } \right) =  - 3\overrightarrow {AC} \)

\(= 3\overrightarrow {CA} \)

Vậy \(\overrightarrow v \) không phụ thuộc vào M.

b. Tam giác ABC vuông tại B nên theo Pitago ta có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\(\left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {3\overrightarrow {CA} } \right| \)\(= 3CA = 3a\sqrt 2 \)

Câu 2.

a.Ta có:

\(\overrightarrow {NB}  =  - 3\overrightarrow {NC} \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AN}  =  - 3\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AN} } \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} = - 3\overrightarrow {AC} + 3\overrightarrow {AN} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = 4\overrightarrow {AN}
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + 3\overrightarrow {AC}\)

\(  \Leftrightarrow \overrightarrow {AN}  = \dfrac{1}{ 4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3 }{4}\overrightarrow {AC} \)

b.Ta có

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  \)

\(= \dfrac{1 }{ 4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3 }{ 4}\overrightarrow {AC}  - \dfrac{1 }{ 2}\overrightarrow {AB} \)

\(=  - \dfrac{1 }{ 4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3 }{ 4}\overrightarrow {AC} \)

Câu 3.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là trung điểm BC.

Ta có:

\(\left| {2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right| \)\(= \left| {3\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right|\)

\(\Leftrightarrow \left| {6\overrightarrow {MG} } \right| = \left| {6\overrightarrow {MI} } \right| \Leftrightarrow MG = MI\)

M cách đều hai điểm cố định G và I nên tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn GI.

Câu 4.

a. \(A(-4;3)\) và \(B(2;-5).\)

\(A'\)  đối xứng với A qua B khi và chỉ khi B là trung điểm của đoạn \({\rm{AA'}}\)  .

Do đó \(\left\{ \matrix{  {x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\hfill \cr  {y_B} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2} \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_{A'}} = 2{x_B} - {x_A} = 8 \hfill \cr  {y_{A'}} = 2{y_B} - {y_A} =  - 13 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(A' = \left( {8; - 13} \right)\) .

b.Gọi \(M\left( {{x_M};0} \right)\) là điểm trên trục hoành.

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( {{x_M} + 4; - 3} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 8} \right)\) .

M, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương

\(\dfrac{{{x_M} + 4}}{6} = \dfrac{{ - 3}}{{ - 8}} \)

\(\Leftrightarrow 4{x_M} + 16 = 9\)

\(\Leftrightarrow {x_M} = - \dfrac{7}{4}\)

Vậy \(M = \left( { - \dfrac {7 }{ 4};0} \right)\) .