Đề kiểm tra 15 phút - Chương 3 - Đề số 1 - Hình học 10

Đề bài

Câu 1. Tìm điểm M trên đường thẳng \(\Delta : - x + y + 2 = 0\) cách đều hai điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) và \(B\left( {4;0} \right)\)

Câu 2. Một hình bình hành có hai đường thẳng chứa hai cạnh có phương trình là \(5x + 2y + 6 = 0\) và \(3x - y - 3 = 0\) và một đỉnh là \(A\left( { - 1;4} \right)\) . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại nữa của hình bình hành đó.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

Cách 1. Đường thẳng \(\Delta : - x + y + 2 = 0\) qua điểm \(I\left( {2;0} \right)\)  và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1} \right)\) . Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \matrix{  x = 2 + t \hfill \cr  y = t \hfill \cr}  \right.\) . Điểm \(M \in \Delta \) có tọa độ \(\left( {2 + t;t} \right)\) . M cách đều A và B nghĩa là

\(MA = MB \)

\(\Leftrightarrow {\left( { - 4 - t} \right)^2} + {\left( {4 - t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {0 - t} \right)^2} \)

\(\Leftrightarrow t =  - 7\) .

Vậy \(M = (-5;-7)\)

Cách 2. Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 4} \right)\) và trung điểm của AB là \(I\left( {1;2} \right)\). Phương trình đường trung trực d của AB là \(6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \)\(\,\Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\) .

Điểm \(M \in \Delta \) cách đều A và B là giao điểm của \(\Delta \) và d có tọa độ thỏa mãn hệ

\(\left\{ \matrix{   - x + y + 2 = 0 \hfill \cr  3x - 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - 5 \hfill \cr  y =  - 7 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\) .

Vậy \(M\left( { - 5; - 7} \right)\)

Câu 2.

Nhận xét điểm \(A\left( {1;4} \right)\)  không thuộc hai đường thẳng đã cho.

Đỉnh C của hình bình hành là giao điểm của hai đường thẳng đã cho nên có tọa độ thỏa mãn hệ

\(\left\{ \matrix{  5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr  3x - y - 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y =  - 3 \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành

\(5\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow 5x + 2y - 3 = 0\).

\(3\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 4} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0\).

Tọa độ các đỉnh còn lại thỏa mãn các hệ

\(\left\{ \matrix{  5x + 2y + 6 = 0 \hfill \cr  3x - y + 7 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {{20} \over {11}} \hfill \cr  y = {{17} \over {11}} \hfill \cr}  \right.\)

\(\left\{ \matrix{  3x - y - 3 = 0 \hfill \cr  5x + 2y - 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = {9 \over {11}} \hfill \cr  y =  - {6 \over {11}} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy các đỉnh còn lại của hình bình hành là \(\left( {0; - 3} \right),\left( { - \dfrac{{20}}{{11}};\dfrac{{17}}{{11}}} \right),\left( {\dfrac{9}{{11}}; - \dfrac{6}{{11}}} \right).\)