Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Chương 1 - Hình học 11

Đề bài

Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó .

B. Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó

C. Có phép đối xứng tâm có 2 điểm biến thành chính nó.

D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó. 

Câu 2: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng ?

A. Hình vuông              B. Hình tròn

C. Hình tam giác đều    D. Hình thoi

Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng về phép đối xứng tâm:

A. Nếu \(OM = OM'\) thì \(M'\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O.

B. Nếu \(\overrightarrow {OM}  =  - \overrightarrow {OM'} \) thì \(M'\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O.

C. Phép quay là phép đối xứng tâm.

D. Phép đối xứng tâm không phải là một phép quay.

Câu 4: Ảnh của điểm M ( 3;-1) qua phép đối xứng tâm I(1;2) là:

A. (2;1)                          B. ( -1;5)

C. (-1;3)                        D. (5;-4)

Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:x = 2\). Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = -2                        B. y = 2

C. x = 2                         D. y = -2

Câu 6: Cho điểm I (1;1) và đường thẳng \(d:x + 2y + 3 = 0\). Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. \(d':x + 2y - 3 = 0\)    

B. \(d':x + 2y - 7 = 0\)

C. \(d':2x + 2y - 3 = 0\)

D. \(d':x + 2y - 9 = 0\)

Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của điểm A ( 5;3) qua phép đối xứng tâm I (4;1) là:

A. \(A'(5;3).\)                B. \(A'( - 5; - 3).\)

C. \(A'(3; - 1).\)             D. \(A'(\dfrac{9}{2};2).\)

Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn \((C):{(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 9\) qua phép đối xứng tâm O (0;0) là đường tròn :

A. \((C'):{(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 9\)

B. \((C'):{(x + 3)^2} + {(y + 1)^2} = 9\)

C. \((C'):{(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} = 9\)

D. \((C'):{(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 9\)

Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 1\) qua phép đối xứng tâm I ( 1;0).

A. \((C'):{(x - 2)^2} + {y^2} = 1\)

B. \((C'):{(x + 2)^2} + {y^2} = 1\)

C. \((C'):{x^2} + {(y + 2)^2} = 1\)

D. \((C'):{x^2} + {(y - 2)^2} = 1\)

Câu 10: Tìm tâm đối xứng của đường cong ( C ) có phương trình \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\).

A. I ( 2;1)                       B. I ( 2;2)

C. I (1;1)                        D. I(1;2)

Lời giải chi tiết

Câu 1:

Phép đối xứng tâm có đúng 1 điểm biến thành chính nó, điểm đó là tâm đối xứng.

Chọn B.

Câu 2:

+ Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

+ Hình tròn có tâm đối xứng chính là tâm của hình tròn đó.

+ Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

+ Tam giác đều không có tâm đối xứng

Chọn C.

Câu 3:

\(\overrightarrow {OM}  =  - \overrightarrow {OM'} \) thì O là trung điểm của đoạn thẳng \(MM'\).

Do đó \(M'\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O.

Chọn B.

Câu 4:

Gọi \(M'(x';y')\) là ảnh của M qua Đ_I

Khi đó: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2a - x = 2.1 - 3 =  - 1}\\{y' = 2b - y = 2.2 + 1 = 5}\end{array} }\right. \)\( \Rightarrow M'( - 1;5)\)

Chọn B.

Câu 5:

Gọi \(d'\) là ảnh của d qua Đ­­_O

Lấy điểm M ( x;y) tùy ý thuộc d, ta có x = 2 (1)

Gọi \(M'(x';y')\)= Đ_O (M) \( \Rightarrow M' \in d'\)

Do Đ_O(M)= \(M'\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' =  - x}\\{y' =  - y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - x'}\\{y =  - y'}\end{array}} \right.\)

Thay vào (1) ta được : \( - x' = 2 \Leftrightarrow x' =  - 2\)

Mà \(M' \in d'\) nên phương trình đường thẳng \(d'\) là: x = - 2.

Chọn A.

Câu 6:

Gọi \(d'\) là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Lấy điểm \(M(x;y) \in d\) tùy ý, ta có \(x + 2y + 3 = 0\) (1)

Gọi \(M'\left( {x';y'} \right)\)= Đ_I (M) \( \Rightarrow M' \in d'\)

Do Đ_I (M) = \(M'\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2 - x}\\{y' = 2 - y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x'}\\{y = 2 - y'}\end{array}} \right.\)

Thay vào (1) ta được: \(\left( {2 - x'} \right) + 2\left( {2 - y'} \right) + 3 = 0 \)\(\Leftrightarrow x' + 2y' - 9 = 0\)

Mà \(M' \in d'\) nên phương trình đường thẳng \(d'\) là : x + 2y -9 = 0

Chọn D.

Câu 7:

Gọi \(A'\left( {x';y'} \right)\)= Đ_I (A)

Khi đó : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2a - x}\\{y' = 2b - y}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2.4 - 5 = 3}\\{y' = 2.1 - 3 =  - 1}\end{array}} \right. \)\(\Rightarrow A'\left( {3; - 1} \right)\)

Chọn C.

Câu 8:

Gọi \(C'\)= Đ_O (C) . Lấy \(M(x;y) \in (C)\) tùy ý , ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\,\,(1)\)

Gọi \(M'(x';y')\)= Đ_O (M) \( \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Vì Đ_O (M) = \(M'\) nên : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' =  - x}\\{y' =  - y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - x'}\\{y =  - y'}\end{array}} \right.} \right.\)

Thay vào (1) ta được: \({\left( { - x' - 3} \right)^2} + {\left( { - y' + 1} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x' + 3} \right)^2} + {\left( {y' - 1} \right)^2} = 9\)

Mà \(M' \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \((C')\)là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\)

Chọn D.

Câu 9: Gọi \((C')\)= Đ_I (C)

Lấy \(M(x;y) \in (C)\) tùy ý, ta có\({x^2} + {y^2} = 1\,\,(1)\)

Gọi \(M'(x';y')\)= Đ_I (M) \( \Rightarrow M' \in \left( {C'} \right)\)

Vì Đ_I (M) = \(M'\) nên  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2 - x}\\{y' =  - y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x'}\\{y =  - y'}\end{array}} \right.} \right.\)

Thay vào (1) ta được : \({\left( {2 - x'} \right)^2} + {\left( { - y'} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {x' - 2} \right)^2} + {y'^2} = 1\)

Mà \(M' \in \left( {C'} \right)\)

Vậy phương trình đường tròn \((C')\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 1\)

Chọn A

Câu 10:

Lấy \(M(x;y) \in (C)\) tùy ý, ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\,\,(1)\)

Gọi \(I(a;b)\) là tâm đối xứng của (C) và \(M'(x';y')\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.

Khi đó ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2a - x}\\{y' = 2b - y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2a - x'}\\{y = 2b - y'}\end{array}} \right.} \right.\)

Thay vào (1) ta được: \(\begin{array}{l}2b - y' = {\left( {2a - x'} \right)^3} - 3{\left( {2a - x'} \right)^2} + 3\\ \Leftrightarrow y' = {{x'}^3} - 3{{x'}^2} + 3 + \left( {6 - 6a} \right){{x'}^2} \\+ \left( {12{a^2} - 12a} \right)x' - 8{a^3} + 12{a^2} + 2b - 6\,\,(2)\end{array}\)

Mà \(M' \in \left( C \right)\) nên \(y' = {x'^3} - 3{x'^2} + 3\)

Thay vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {6 - 6a} \right){{x'}^2} + \left( {12{a^2} - 12a} \right)x' \\- 8{a^3} + 12{a^2} + 2b - 6 = 0\,\,,\forall x'\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 - 6a = 0}\\{12{a^2} - 12a = 0}\\{ - 8{a^3} + 12{a^2} + 2b - 6 = 0}\end{array}} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( {1;1} \right)\end{array}\)

Vậy I ( 1;1) là tâm đối xứng của (C)

Chọn C.