Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AS = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AS, đặt \(AM = x\left( {0 \le x \le 2{\rm{a}}} \right)\).

a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(MBC) ứng với mỗi vị trí của M.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BC//SA{\rm{D}},M \in mp\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap mp\left( {MBC} \right)\)

nên \(mp\left( {MBC} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = MN\)

mà \(MN//BC\left( {N \in S{\rm{D}}} \right)\).

Như vậy BMNC là hình thang.

Mặt khác \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot BM\).

Vậy BMNC là hình thang vuông.

Do đó thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) nói chung là hình thang vuông.

Khi x = 0 thì thiết diện là hình chữ nhật ABCD, và khi x = 2a thì thiết diện là tam giác SBC.

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {BC + MN} \right).BM  \cr  & B{M^2} = {a^2} + {x^2} \cr} \)

hay \(BM = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

\({{MN} \over {A{\rm{D}}}} = {{SM} \over {SA}} = {{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\), từ đó \(MN = b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\).

Từ đó

\(\eqalign{  & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {b + b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}} \right).\sqrt {{a^2} + {x^2}}   \cr  &  = {b \over {4{\rm{a}}}}\left( {4{\rm{a}} - x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}}  \cr} \)

b) Do \(\left( {BMNC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên khi kẻ SH vuông góc với đường thẳng \(BM\left( {H \in BM} \right)\) thì \(SH \bot \left( {BMNC} \right)\).

Khoảng cách từ S đến mp(BCM) là SH. Dễ thấy

\(SH.BM = 2{{\rm{S}}_{SBM}} = 2.{1 \over 2}a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)\)

Vậy \(SH = {{a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)