Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 ≤ x ≤a).

a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x.

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD.

c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A₁ và D₁. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A₁ và D₁ thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AK \bot MB\), do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SK \bot MB\) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK\)

Mặt khác \(BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}} \) và \(AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab\)

tức là \(AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}\)

Từ đó

\(\eqalign{  & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}}  \cr  &  = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr} \)

Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \)

b) Với A₁ là hình chiếu A trên SK, dễ thấy \(A{A_1} \bot \left( {SBM} \right)\).

Từ đó \(A{A_1}.SK = SA.AK\)

suy ra \(A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}\)

hay

\(\eqalign{  & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}}  \cr  &  = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr} \)

Khi trung điểm DC thì \(x = {a \over 2}\) nên

\(A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}\)

c) Vì \(A{A_1} \bot \left( {SMB} \right)\) nên \(A{A_1} \bot SB\) mặt khác \(A{\rm{D}} \bot SB\), từ đó \(mp\left( {A{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot SB.\)

Gọi giao điểm của SB với mp(ADA₁) là I thì \(AI \bot SB\), từ đó I là điểm cố định và mp(ADA₁) cố định.

Như vậy, điểm A₁ nhìn AI cố định dưới góc vuông và A­₁ thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A₁ thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI).

Bán kính của đường tròn đó bằng \({{AI} \over 2}\) mà

\(AI.SB = SA.AB\)

hay \(AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\)

Vậy bán kính của đường tròn trên bằng \({{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\).

Vì D₁ là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD₁ // AA₁ và dễ thất D₁ thuộc đường thẳng A₁I.

Như vậy, D₁ thuộc mp(ADI) và D₁ nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D₁ thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó \({{DI} \over 2}\).

Mặt khác

\(\eqalign{  & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2}  \cr  &  = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}  \cr  &  = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr} \)

Từ đó, bán kính của đường tròn đó là

\({1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}} \)