Câu 64 trang 62 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC’.

a) Xác định đường thẳng qua M cắt AN và cắt A’B.

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và A’B. Hãy tìm tỉ số \({{IM} \over {{\rm{IJ}}}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng \(\Delta \) cần tìm cắt cả AN và BA’. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với AN và BA’.

Xét phép chiếu song song lên mp(ABCD) theo phương chiếu A’B. Khi đó ba điểm I, J, M lần lượt có hình chiếu là B, I’ và M. Do đó ba điểm B, I’, M thẳng hàng. Gọi N’ là hình chiếu của N thì AN’ là hình chiếu của AN. Vì I thuộc AN nên I’ thuộc AN’. Vậy I’ là giao điểm của BM và AN’.

Từ phân tích ở trên ta có thể dựng đường thẳng \(\Delta \) theo các bước sau đây:

- Lấy giao điểm I’ của AN’ và BM.

- Trong mp(ANN’) dựng II’ // NN’ (đã có NN’ // CD’) cắt AN tại I.

- Vẽ đường thẳng MI, đó là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

Dễ chứng minh được, đường thẳng \(\Delta \) nói trên cắt BA’.

b) Dễ thấy: MC = CN’

suy ra: MN’ = CD = AB.

Do đó I’ là trung điểm của BM.

Mặt khác II’ // JB, nên II’ là đường trung bình của tam giác  MBJ, suy ra:

\(IM = {\rm{IJ}} \Rightarrow {{IM} \over {IJ}} = 1\)