Bài 63 trang 15 SBT Hình Học 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu hai tam giác có các đường cao tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác ABC có đường cao AH, BI, CK và tam giác A'B'C' có các đường cao A'H', B'I', C'K' thỏa mãn AH = A'H', BI = B'I', CK = C'K'.

Trong tam giác ABC ta có AB.CK = BC.AH = CA.BI.

Cũng vậy, trong tam giác A'B'C' ta có A'B'.C'K'= B'C'.A'H' = C'A'.B'I'

Từ đó, suy ra \({{AB} \over {A'B'}} = {{BC} \over {B'C'}} = {{CA} \over {C'A'}} = k\)

Như vậy, hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng.

Do đó, có phép đồng dạng F tỉ số k biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

Nhưng F biến đường cao AH thành đường cao A'H' với A'H' = AH nên k = 1.

Do đó F là phép dời hình. Vậy tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.