Câu 59 trang 126 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy SA = a. Tính:

a) Khoảng cách từ điểm S đến mp(A₁CD) trong đó A₁ là trung điểm của SA;

b) Khoảng cách giữa AC và SD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\) nên \(\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\). Từ đó, khi kẻ đường cao SH của tam giác SA₁D thì:

\(SH \bot mp\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right)\).

và \(SH = d\left( {S;mp\left( {C{\rm{D}}{A_1}} \right)} \right)\).

Ta có

\(\eqalign{  & SH.{A_1}D = 2{{\rm{S}}_{S{A_1}D}} = {S_{SA{\rm{D}}}} = {{{a^2}} \over 2}  \cr  & {A_1}D = \sqrt {{a^2} + {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Vậy \(SH = {{{a^2}} \over 2}.{2 \over {a\sqrt 5 }} = {a \over {\sqrt 5 }} = {{a\sqrt 5 } \over 5}.\)

Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AB tại B', khi đó \(B'D = a\sqrt 2 ,AB' = a,SB' = a\sqrt 2 ,S{\rm{D}} = a\sqrt 2 \).

Vậy SB’D là tam giác đều. Gọi I là trung điểm của SB’ thì:

\(DI = {{a\sqrt 6 } \over 2},SB' \bot \left( {AI{\rm{D}}} \right)\).

từ đó \(\left( {AI{\rm{D}}} \right) \bot \left( {SB'D} \right)\).

Vậy khi kẻ đường cao AK của tam giác AID thì AK là khoảng cách từ A đến mp(SB’D). Mặt khác AC // (SB’D) nên AK cũng là khoảng cách giữa AC và SD.

Ta có \({\rm{AI = }}{{a\sqrt 2 } \over 2},A{\rm{D}} = a\)

Vì \(A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(A{\rm{D}} \bot AI\).

Do đó \(AK = {{AI.A{\rm{D}}} \over {DI}} = {{{{a\sqrt 2 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 2}}} = {a \over {\sqrt 3 }}\).

Vậy khoảng cách giữa AC và SD bằng \({{a\sqrt 3 } \over 3}\).