Câu 4.40 trang 140 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết

Giả sử hàm số \(f\) xác định trên một khoảng \(I\)  chứa điểm \({x_0}\)  và \(({x_n})\) là một dãy số trong tập hợp \(I\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\)  sao cho \(\lim {x_n} = {x_0}.\) Khi đó vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) nên \(\lim \left| {f\left( {{x_n}} \right)} \right| = 0.\)Từ đó suy ra \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = 0.\) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = 0\).