Câu 43 trang 167 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}}\)

Phương pháp giải:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, khử dạng vô định.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \({{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}} \) \(= {{\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - x} \right)}}  \) \( = {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}\)

với \(\,x \ne - \sqrt 3 \)

Do đó :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^3} + 3\sqrt 3 } \over {3 - {x^2}}} \) \(  =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 3 } {{{x^2} - x\sqrt 3 + 3} \over {\sqrt 3 - x}}= {9 \over {2\sqrt 3 }} \) \(  = {{3\sqrt 3 } \over 2}\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {{x^2} - 4x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {{\sqrt x - 2} \over {x\left( {x - 4} \right)}} \cr 
&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} {1 \over {x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = {1 \over {16}} \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 4x}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x - 4}}{{x\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{x\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{1}{{16}}
\end{array}\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {{x^2} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{\sqrt {x - 1} } \over {x\left( {x - 1} \right)}} \cr 
& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {1 \over {x\sqrt {x - 1} }} = + \infty \cr} \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x\sqrt {x - 1} } \right) = 0\) và \(x\sqrt {x - 1}  > 0,\forall x > 1\)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{x^2} + x + 1} - 1} \over {3x}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} + x + 1 - 1} \over {3x(\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1)}} \cr 
&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + x}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + 1} \right)}} \cr &= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + 1} \right)}}\cr &= {1 \over 3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + 1}} = {1 \over 6} \cr} \)