Câu 27 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau (nếu có) :

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào điều kiện của x.

Chú ý: \(x \to x_0^ + \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x > x_0 \).

\(x \to x_0^ - \) nghĩa là \(x \to x_0 \) và \(x < x_0 \).

\(\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}
x\,\,\,\,neu\,x \ge 0\\
- x\,neu\,x < 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x > 2\), ta có x-2>0 nên \(\left| {x - 2} \right| = x - 2.\) Do đó :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{x - 2} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1\)

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\)

Lời giải chi tiết:

Với mọi \(x < 2\), ta có x-2<0 nên \(|x – 2| = 2 – x\). Do đó :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{2 - x} \over {x - 2}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - 1 = - 1\)

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\)

Phương pháp giải:

Điều kiện tồn tại giới hạn:

Hàm số y=f(x) tồn tại giới hạn hữu hạn \(L\) tại \(x_0\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)=L\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) nên không tồn tại  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\)