Câu 4.14 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81m. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần rơi trước. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Lời giải chi tiết

Đặt \({h_1} = 81\,\left( m \right)\). Sau lần chạm đất đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là \({h_2} = {2 \over 3}{h_1}.\) Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao \({h_2},\) chạm đất và nảy lên độ cao  \({h_3} = {2 \over 3}{h_2}\) rồi rơi từ độ cao \({h_3}\) và cứ tiếp tục như vây. Sau lần chạm đất thứ n từ độ cao \({h_n},\) quả bóng nảy lên độ cao \({h_{n + 1}} = {2 \over 3}{h_n},....\)Tổng các khoảng cách rơi và nảy lên của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa là

\(\eqalign{
& d = \left( {{h_1} + {h_2} + {h_3} + ... + {h_n} + ...} \right) \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left( {{h_2} + {h_3} + ... + {h_n} + ...} \right) \cr} \)

d là tổng của hai cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu, theo thứ tự là \({h_1},{h_2}\) và có cùng công bội \(q = {2 \over 3}.\) Do đó

           \(d = {{{h_1}} \over {1 - {2 \over 3}}} + {{{h_2}} \over {1 - {2 \over 3}}} = 3\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = 405\,\,\left( m \right)\)