Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi  \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\)

LG a

Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\)

 \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\)

LG b

Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

Lời giải chi tiết:

 Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left({n - 1}\right).2 = 2n - 1\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế

             \({u_n} = \sqrt {2n - 1} \,(\forall n \ge 1).\)

LG c

Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2.\)

Lời giải chi tiết:

\(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + .... + u_{1001}^2\)

       \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{1001}} \)

       \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 - 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\)