Câu 34 trang 118 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và Ab = 2a, BC = a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(a\sqrt 2 \)

a. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD).

b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD ; K là điểm bất kì thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo a.

Lời giải chi tiết

a. Vì SA = SB = SC = SD = \(a\sqrt 2 \) nên hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H mà HA = HB = HC = HD. Do ABCD là hình chữ nhật nên H chính là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) bằng SH. Ta có:

\(\eqalign{  & S{H^2} = S{A^2} - {{A{C^2}} \over 4} = 2{a^2} - {{A{B^2} + B{C^2}} \over 4}  \cr  &  = 2{a^2} - {{4{a^2} + {a^2}} \over 4} = {{3{a^2}} \over 4}\cr&\Rightarrow SH = {{a\sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

b. Vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD), đó cũng chính là khoảng cách từ H đến mp(SAD). Vậy khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD.

Tính d(EF ; SK) :

Gọi I là trung điểm của AD, kẻ đường cao HJ của tam giác vuông SHI thì HJ ⊥ mp(SAD), do đó d(H; (SAD)) = HJ. Ta có: HJ.SI = SH.HI

\(S{I^2} = S{A^2} - A{I^2} = 2{a^2} - {{{a^2}} \over 4} = {{7{a^2}} \over 4}\)

Từ đó \(HJ = {{SH.HI} \over {SI}} = {{{{a\sqrt 3 } \over 2}.a} \over {{{a\sqrt 7 } \over 2}}} = {{a\sqrt {21} } \over 7}\)

Như vậy, khoảng cách giữa EF và SK không phụ thuộc vào vị trí của điểm K trên đường thẳng AD và bằng \({{a\sqrt {21} } \over 7}\)