Câu 3 trang 14 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau :

a.  \(y = 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3\)

b.  \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)} - 1\)

c.  \(y = 4\sin \sqrt x \) 

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(-1 ≤ \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) ≤ 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow - 2 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) \le 2\cr& \Rightarrow 1 \le 2\cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) + 3 \le 5 \Rightarrow 1 \le y \le 5 \cr 
&\text{ Vậy }\cr&\min \,y = 1\,khi\,x + {\pi \over 3} = \pi + k2\pi \,\cr&\,\,\,\,\,\,\,\text{ khi} \,x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \cr 
&\max \,y = 5\,khi\,x + {\pi \over 3} = k2\pi \,\text{ khi} \,x = - {\pi \over 3} + k2\pi \cr&\left( {k \in \mathbb Z} \right) \cr} \)

b. Ta có:  \(0 \le 1 - \sin {x^2} \le 2\)

\(\Rightarrow - 1 \le \sqrt {1 - \sin {x^2}} - 1 \le \sqrt 2 - 1 \)

\(\Rightarrow - 1 \le y \le \sqrt 2 - 1\)

\(\eqalign{
& \text{ Vậy }\,\min \,y = - 1\,\text{ khi} \,{x^2} = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr 
&\max\,y = \sqrt 2 - 1\text{ khi}\,{x^2} = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in \mathbb Z \cr} \)

c. Ta có:  \( - 1 \le \sin \sqrt x \le 1 \Rightarrow - 4 \le 4\sin \sqrt x \le 4\)

\(⇒ -4 ≤ y ≤ 4\)

\(\eqalign{
& \text{ Vậy }\cr&\min \,y = - 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k > 0,k \in\mathbb Z \cr 
& \max \,y = 4\,\text{ khi}\,\sqrt x = {\pi \over 2} + k2\pi ,k \ge 0,k \in\mathbb Z \cr} \)