Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của BC thì AI ⊥ BC. Do BD ⊥ mp(ABC) nên AI ⊥ CD (định lí ba đường vuông góc).

Trong mp(CDB), kẻ IJ vuông góc với CD (J ϵ CD) thì mp(AIJ) chính là mặt phẳng (α) và thiết diện phải tìm là tam giác AIJ

Tam giác AIJ là tam giác vuông tại I.

Vậy \({S_{AIJ}} = {1 \over 2}AI.IJ\)

Ta có:

\(\eqalign{  & AI = {1 \over 2}BC = {{a\sqrt 2 } \over 2}  \cr  & {{IJ} \over {DB}} = {{CI} \over {CD}} \Rightarrow IJ = {{CI} \over {CD}}.DB = {{{{a\sqrt 2 } \over 2}} \over {a\sqrt 3 }}.a = {{a\sqrt 6 } \over 6} \cr} \)

Vậy \({S_{AIJ}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 2 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 6} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)