Câu 23 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a. Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).

b. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

và \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} \)

Vậy \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\)

Tương tự, ta có: \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {BA'}  = 0\)

Vậy AC’ ⊥ (A’BD)

Do (A’BD) // (B’CD’) nên AC’ ⊥ (B’CD’)

b. Gọi M là trung điểm của BC thì MA = MC’ (vì cùng bằng \({{a\sqrt 5 } \over 2}\) ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực (α) của AC’

Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B).

Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp(α) là MNPQRS. Đây là lục giác đều cạnh bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\). Từ đó ta tính được diện tích của thiết diện là : \(S = 6.{\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{3\sqrt 3 } \over 4}{a^2}.\)