Câu 24 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).

LG a

\(x - 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\);

Phương pháp giải:

Lần lượt giải từng bpt và so sánh các tập nghiệm.

Hai bpt tương đương nếu chũng có cùng tập nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2 \)

\(\Rightarrow S_1 = \left( {2; + \infty } \right)\)

\({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x < 2
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;2} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\ne S_1\)

Do đó: \(x – 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\) không tương đương.

LG b

\(x - 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\);

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
+ )x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;2} \right)\\
+ ){x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x > 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\\
\Rightarrow {S_2} = \left( {2; + \infty } \right) \ne {S_1}
\end{array}\)

Do đó: \(x – 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\) không tương đương.

LG c

\(x - 2 ≤0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\);

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
+ )\,x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;2} \right]\\
+ )\,{x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x - 2 \le 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \le 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2\\
\Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;2} \right] = {S_1}
\end{array}\)

Do đó: \(x – 2 ≤ 0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\) là tương đương.

LG d

\(x - 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
+ )\,x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\\
\Rightarrow {S_1} = \left[ {2; + \infty } \right)\\
+ )\,{x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ne 0\\
x - 2 \ge 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x \ge 2
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {S_2} = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\} \ne {S_1}
\end{array}\)

Do đó: \(x – 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\) không tương đương.