Câu 19 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của AD, J là điểm đối xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B.

a) Xác định thiết diện của hình tứ diện khi cắt bởi mp(IJK).

b) Tính diện tích thiết diện được xác định bởi câu a.

Lời giải chi tiết

a) Nối I và J cắt AC tại N. Nối I và K cắt AB tại M. Tam giác IMN là thiết diện cần tìm.

b) Dễ thấy M là trọng tâm tam giác ADK, N là trọng tâm tam giác ADJ. Từ đó ta có:

\(AN = {2 \over 3}AC;\;AM = {2 \over 3}AB\)

Suy ra: \(AN = AM = {2 \over 3}a\) và MN//CB. Do đó \(MN = {2 \over 3}CB\)

hay \(MN = {2 \over 3}a.\)

Xét tam giác AIM. Ta có:

\(\eqalign{
& I{M^2} = A{I^2} + A{M^2} - 2AI.AM.\cos {60^o} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{a^2}} \over 4} + {4 \over 9}{a^2} - 2.{a \over 2}.{{2a} \over 3}.{1 \over 2} = {{13} \over {36}}{a^2} \cr 
& \Rightarrow IM = {{a\sqrt {13} } \over 6} \cr} \)

Tương tự, ta có \(IN = {{a\sqrt {13} } \over 6}\)

Vậy theo công thức Hê-rông, ta có:

\({S_{IMN}} = \sqrt {\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} + {2 \over 6}a} \right).{2 \over 6}a.{2 \over 6}a.\left( {{{a\sqrt {13} } \over 6} - {2 \over 6}a} \right)} \)

            \(= {{{a^2}} \over 6}.\)