Câu 11 trang 51 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Đề bài

Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D; G là trọng tâm của tam giác ACD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC, AD sao cho:

\({{MA} \over {MB}} = {{NC} \over {NA}} = {{PD} \over {PA}} = {1 \over 2}\)

Gọi I, J lần lượt là các giao điểm của đường thẳng MN với BC và MP với BD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng.

b) Gọi E, F lần lượt các trung điểm của CD, NI; H là giao điểm của MG với BE; K là giao điểm của GF với mp (BCD). Chứng minh rằng các điểm H, K, I, J thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& JN \subset mp\left( {MNP} \right) \cr 
& IP \subset mp\left( {MNP} \right) \cr} \)

Vì \({{CN} \over {NA}} = {{EG} \over {GA}} = {{DP} \over {PA}} = {1 \over 2}\)

nên trong mp(ACD) các điểm N, G, P nằm trên một đường thẳng song song với CD. Từ đó G thuộc NP, Suy ra \(MG \subset mp\left( {MNP} \right).\) Vậy ba đường thẳng MG, JN, IP đều thuộc mp(MNP).

b) Vì H là giao điểm của MG với BE nên H thuộc mp(MNP) và mp(BCD). Vì K là giao điểm của GF với mp(BCD) nên K thuộc mp(BCD) và mp(MNP).

Mặt khác mp(MNP) và mp(BCD) cắt nhau theo giao tuyến IJ.

Vậy các điểm H và K phải thuộc đường thẳng IJ, tức là bốn điểm I, J, K, H thẳng hàng.