Câu 16 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (un) xác định bởi


Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left( {n + 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\)

LG a

Chứng minh rằng (un) là một dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số (un), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (un) là một dãy số tăng.


LG b

Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} = 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

 

Bài giải tiếp theo
Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Video liên quan