Câu 11 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình vuông A₁B₁C₁D₁ có các cạnh bằng 6cm. Người ta dựng các hình vuông A₂B₂C₂D₂, A₃B₃C₃D₃, …, A_nB_nC_nD_n, … theo cách sau : Với mỗi n = 2, 3, 4, … lấy các điểm A_n, B_n , C_n, và D_n tương ứng trên các cạnh A_n-1B_n-1, B_n-1C_n-1, C_n-1D_n-1và D_n-1A_n-1 sao cho A_n-1A_n = 1cm và A_nB_nC_nD_n là một hình vuông (h.3.2). Xét dãy số (u_n) với u_n là độ dài cạnh của hình vuông A_nB_nC_nD_n.

Hãy cho dãy số (u_n) nói trên bởi hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết

Với mỗi \(n \in \mathbb N^*\), xét các hình vuông \({A_n}{B_n}{C_n}{D_n}\) và \({A_{n + 1}}{B_{n + 1}}{C_{n + 1}}{D_{n + 1}},\) ta có

\(\eqalign{& {u_{n + 1}} = {A_{n + 1}}{B_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{A_{n + 1}}{B_n}} \right)}^2} +{{\left( {{B_n}{B_{n + 1}}} \right)}^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{A_n}{B_n} - 1} \right)}^2} + {1^2}} \cr & = \sqrt {{{\left( {{u_n} - 1} \right)}^2} + 1} \cr} \)