Câu 14 trang 18 SGK Hình học 11 Nâng cao

Giả sử phép đối xứng tâm \({D_O}\) biến đường thẳng d thành d'. Chứng minh

LG a

Nếu d không đi qua tâm đối xứng O thì d' song song với d, O cách đều d và d'

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(OH ⊥ d (H  ∈ d)\) thì vì d không đi qua O nên H không trùng với O

Phép đối xứng tâm \(Đ_ O\) biến H thành H’ thì O là trung điểm của HH’, và biến đường thẳng  d thành đường thẳng d’ vuông góc với OH’ tại H’.

Suy ra d và d’ song song, cách đều điểm O

LG b

Hai đường thẳng d và d' trùng nhau khi và chỉ khi d đi qua O

Lời giải chi tiết:

Nếu d không đi qua điểm O thì theo câu a), d’ // d nên d’ không trùng với d.

Nếu d đi qua O thì mọi điểm \(M ∈ d\) biến thành điểm \(M’ ∈ d’.\)