Bài tập 11 trang 69 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác ABC có AB = 15, AC = 20, BC = 25. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (D thuộc AC).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE.

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE.

Lời giải chi tiết

a) ∆ABC có AD là đường phân giác (gt) nên \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \Rightarrow {{DB} \over {AB}} = {{DC} \over {AC}} = {{DB + DC} \over {AB + AC}} = {{BC} \over {AB + AC}}\)

Do đó \({{DB} \over {15}} = {{DC} \over {20}} = {{25} \over {15 + 20}} = {5 \over 7}\)

\(\Rightarrow DB = {5 \over 7}.15 = {{75} \over 7},\)

\(DC = {5 \over 7}.20 = {{100} \over 7}\)

∆ABC có DE // AB (gt)

\( \Rightarrow {{DE} \over {AB}} = {{DC} \over {BC}} = {{CE} \over {AC}}\) (hệ quả của định lí Thales)

\( \Rightarrow {{DE} \over {15}} = {{{{100} \over 7}} \over {25}} = {{CE} \over {AC}}\)

\(\Rightarrow {{DE} \over {15}} = {4 \over 7} = {{CE} \over {AC}}.\)

Từ đó ta có: \({{DE} \over {15}} = {4 \over 7}\)

\( \Rightarrow DE = {{15.4} \over 7} = {{60} \over 7}\)

b) Ta có \(B{C^2} = {25^2} = 625\) và \(A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625\)

Do đó \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo)

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.15.20 = 150(dvdt)\)

c) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H

\({S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC\) và \({S_{ABC}} = 150\)

Suy ra \(150 = {1 \over 2}AH.BC \Rightarrow 150 = {1 \over 2}.AH.25 \)

\(\Rightarrow AH = {{150.2} \over {25}} = 12(cm)\)

\({S_{ADB}} = {1 \over 2}AH.DB = {1 \over 2}.12.{{75} \over 7} = {{450} \over 7}(dvdt)\)

Do đó \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ADB}} = 150 - {{450} \over 7} = {{600} \over 7}(dvdt)\)

∆ABC có DE // AB (gt) \( \Rightarrow {{AE} \over {CE}} = {{DB} \over {DC}}\) nên \(\dfrac{{AE}}{{CE}} = \dfrac{{\frac{{75}}{5}}}{{\dfrac{{100}}{7}}} = \dfrac{3}{4}\)

Mà \({{{S_{ADE}}} \over {{S_{DCE}}}} = {{AE} \over {CE}} = {3 \over 4} \Rightarrow {{{S_{ADE}}} \over 3} = {{{S_{DCE}}} \over 4}\)

Do đó \({{{S_{ADE}}} \over 3} = {{{S_{DCE}}} \over 4} = {{{S_{ADE}} + {S_{DCE}}} \over {3 + 4}} = {{{S_{ADC}}} \over 7} = {{600} \over {49}}\)

\( \Rightarrow {S_{ADE}} = {{600} \over {49}}.3 = {{1800} \over {49}}(dvdt)\) và \({S_{DCE}} = {{600} \over {49}}.4 = {{2400} \over {49}}(dvdt)\)