Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^5;\) 

Lời giải chi tiết:

Đặt \(u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx\) \( \Rightarrow {x^2}dx = 6du\)   

Do đó \(\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx}\) \( = \int {6{u^5}du }\) \(= {u^6}  + C\) \( = {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C\) 

LG b

\(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\)

Lời giải chi tiết:

Đăt \(u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx \) \(\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx =  - du\) 

\( \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx }\) \(=  - \int {udu }\) \(=  - {{{u^2}} \over 2} + C \) \(=  - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C \) 

LG c

\(f\left( x \right) = {x^3}{e^x};\)

Lời giải chi tiết:

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^3} \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 3{x^2}dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} } \)

Tính \({I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)} \)

Tính \({I_2} = \int {x{e^x}dx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx } \) \(=xe^x-e^x+C_2\) \(= {e^x}\left( {x - 1} \right) + C_2 \)

Thay \({I_2}\) vào (2) ta được: \({I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) +C_1\) \(= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C_1\)

Thay \({I_1}\) vào (1) ta được : \(I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)+C\) \( = {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C\)

LG d

\(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {3x - 9} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2tdt = 3dx\) \( \Rightarrow dx = \dfrac{2}{3}tdt\)

\(I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\dfrac{2}{3}t{e^t}dt} \) \( = \dfrac{2}{3}\int {t{e^t}dt} \) (1)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\{e^t}dt = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = {e^t}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int {t{e^t}dt}  = t{e^t} - \int {{e^t}dt} \) \( = t{e^t} - {e^t} + {C_1} = \left( {t - 1} \right){e^t} + {C_1}\)

Thay vào (1) ta được \(I = \dfrac{2}{3}\left( {t - 1} \right){e^t} + C\) \( = \dfrac{2}{3}\left( {\sqrt {3x - 9}  - 1} \right){e^{\sqrt {3x - 9} }} + C\)