Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

LG a

\(f\left( x \right) = x\sin {x \over 2};\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x\sin {x \over 2}dx}  \) \(=  - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx }\)

\(=  - 2x\cos \frac{x}{2} + 2.\dfrac{{\sin \frac{x}{2}}}{{\frac{1}{2}}} + C\)

\(=  - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C \)

LG b

\(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx \) \(= {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\left( 1 \right)} \)

Tính \(\int {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \int {x\sin xdx} =  - x\cos x + \int {\cos xdx }\) \(=  - x\cos x + \sin x+C\)

Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx}\) \( = {x^2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C \)

LG c

\(f\left( x \right) = x{e^x};\) 

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x{e^x}dx }= x{e^x} - \int {{e^x}dx}  \) \(= x{e^x} - {e^x}  + C\) 

LG d

\(f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)

Lời giải chi tiết:

 Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr 
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x}  - {1 \over 4}\int {{x^3}dx} \) \( = {1 \over 4}x^4\ln x - {{{x^4}} \over {16}} + C\)