Bài 76 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Xét hình thoi \(ABCD\), gọi \( E, F, G, H\) lần lượt là trung điểm của \( AB, BC, CD, AD\).

Ta có: \(EB = EA, FB = FC\) (gt)

nên \(EF\) là đường trung bình của \(∆ABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

\( \Rightarrow \) \(EF // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(HD = HA, GD = GC\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(HG\) là đường trung bình của \(∆ADC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

\( \Rightarrow \) \(HG // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(EF // HG\) (cùng // \(AC\))      (1)

Ta có: \(EB = EA, AH = HD\) (gt)

nên \(EH\) là đường trung bình của \(∆ABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

\( \Rightarrow \) \(EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(BF = FC, GD = GC\) (gt)

\( \Rightarrow \) \(FG\) là đường trung bình của \(∆BDC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác )

\( \Rightarrow \) \(FG // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(EH // FG\) (cùng // \(BD\))  (2)

Từ (1) (2) ta được \(EFGH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Lại có \(EF // AC\) (cmt) và \(BD ⊥ AC\) (tính chất hình thoi)

\( \Rightarrow \) \(BD ⊥ EF\)

\(EH // BD\) (cmt) và \(EF ⊥ BD\) (tính chất hình thoi)

\( \Rightarrow \) \(EF ⊥ EH\) (Vì \(EH//BD\))

\( \Rightarrow \)  \(\widehat{FEH} = 90^0\)

Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat{E} = 90^0\) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)