Bài 75 trang 106 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.

Lời giải chi tiết

Giả sử hình chữ nhật \(ABCD\) có \(E,F,G,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,BC,CD,DA\)

Bốn tam giác vuông \(EAH, EBF, GDH, GCF\) có:

\(AE = BE = DG = CG\) ( = \(\dfrac{1}{2}AB\) = \(\dfrac{1}{2}CD\) )

\(HA = FB = DH = CF\) ( = \(\dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\) )

Xét  \(∆EAH\) và \(∆EBF\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
A{\rm{E}} = BE\left( {cmt} \right)\\
\widehat A = \widehat B = {90^0}\left( {gt} \right)\\
AH = BF\left( {cmt} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta AHE = \Delta BEF\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(EH = EF \) (2 cạnh tương ứng) (1)

Xét  \(∆HDG\) và \(∆FCG\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
H{\rm{D}} = FC\left( {cmt} \right)\\
\widehat D = \widehat C = {90^0}\left( {gt} \right)\\
DG = CG\left( {cmt} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta HDG = \Delta FCG\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(GH = GF \) (2 cạnh tương ứng) (2)

Xét  \(∆AHE\) và \(∆DHG\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
H{\rm{A}} = HD\left( {cmt} \right)\\
\widehat A = \widehat D = {90^0}\left( {gt} \right)\\
AE = DG\left( {cmt} \right)
\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \Delta AHE = \Delta DHG\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow \) \(EH = HG \) (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow  HE=EF = HG = GF\) 

\( \Rightarrow \) \(EFGH\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).

(Trong đó: "cmt" là chứng minh trên)