Bài 7 trang 96 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác lồi ABCD có \(AC = 16cm,\widehat {CBA} = \widehat {CAD} = {90^o},\) \(\widehat {BCA} = \widehat {ACD} = {60^o}\). Tính các cạnh và góc của tứ giác ABCD.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {BCD} = \widehat {BCA} + \widehat {ACD} = {60^o} + {60^o} = {120^o}\)

Có tam giác ABC vuông tại B\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^o} - \widehat {BCA} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} = {30^o} + {90^o} = {120^o}\)

Có tam giác ADC vuông tại A \( \Rightarrow \widehat {ADC} = {90^o} - \widehat {ACD} = {90^o} - {60^o} = {30^o}\)

Xét tam giác ABC vuông tại B: \(AB = AC.\sin \widehat {BCA} = 16.\sin {60^o} \approx 13,86\) (cm)

\(BC = AC.\cos \widehat {BCA} = 16.\cos {60^o} = 8\) (cm)

Xét tam giác ADC vuông tại A: \(AD = AC.\tan \widehat {ACD} = 16.\tan {60^o} \approx 27,71\) (cm)

\(AC = CD.\cos \widehat {ACD}\)

\(\Rightarrow CD = \dfrac{{AC}}{{\cos \widehat {ACD}}} = \dfrac{{16}}{{\cos {{60}^o}}} = 32\)(cm)