Bài 7 trang 113 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M trên đoạn AO, vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Biết AM = 1 cm, CD = \(2\sqrt 3 \) cm. Tính:

a) Chu vi đường tròn.

b) Độ dài cung cung CAD .

Lời giải chi tiết

a) Vì \(AB \bot CD\) tại M \( \Rightarrow M\) là trung điểm của CD (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) \( \Rightarrow CM = \dfrac{1}{2}CD = \sqrt 3 \).

Ta có: \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

\(C{M^2} = AM.BM \)

\(\Leftrightarrow BM = \dfrac{{C{M^2}}}{{AM}} = \dfrac{3}{1} = 3\) (cm)

\( \Rightarrow AB = AM + BM = 1 + 3 = 4\) (cm)

\( \Rightarrow \) Bán kính của đường tròn \(\left( O \right)\) là \(R = OA = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2\) (cm)

Vậy chu vi của đường tròn \(\left( O \right)\) là: \(C = 2\pi R = 2\pi .2 = 4\pi \,\,\left( {cm} \right)\).

b) \(\Delta ABC\) vuông tại C \( \Rightarrow CO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.4 = 2\,\,\left( {cm} \right)\) (định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông).

Xét tam giác vuông OCM có: \(\sin \widehat {COM} = \dfrac{{CM}}{{CO}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Rightarrow \widehat {COM} = {60^0} \Rightarrow \widehat {COA} = {60^0}\)

 (cm).

Vì A thuộc trung trực của CD \( \Rightarrow AC = AD\) (điểm thuộc trung trực của đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó) \( \Rightarrow cung\,AC = cung\,AD \)

\(\Rightarrow {l_{cungCAD}} = 2{l_{cungAC}} = \dfrac{{4\pi }}{3} \approx 4,19\,\,\left( {cm} \right)\).