Bài 62 trang 83 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

TH1: Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) 

Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \bot AC\) hay \(BA\) và \(CA\) chính là các đường cao xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn B và C. 

Theo đề bài ta có hai chiều cao này bằng nhau \(AB=AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)

TH2: Tam giác \(ABC\) không có góc vuông.

Xét tam giác \(ABC\) có \(BH ⊥ AC\) tại \(H\) và \(CK ⊥ AB\) tại \(K\), biết \(BH=CK.\)

Xét hai tam giác vuông \(KBC\) và \(HCB\) có:

+) \(BC\) cạnh chung

+) \(BH = CK\) (giả thiết)

Vậy \({\Delta _v}KBC = {\Delta _v}HCB\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Trong đó: "\({\Delta _v}\)" đọc là tam giác vuông.

\( \Rightarrow \; \widehat{KBC}= \widehat{HCB}\) (Hai góc tương ứng).

Xét tam giác \(ABC\) ta có \(\widehat{KBC}= \widehat{HCB}\) hay \(\widehat{ABC}= \widehat{ACB}\)

Vậy \(∆ABC\) cân tại \(A\) (điều phải chứng minh).

*) Xét \(ΔABC\) có ba đường cao \(BH = CK = AI\) (như hình vẽ dưới đây)

Theo chứng minh trên ta có: 

+) Nếu \(BH = CK\) thì \(ΔABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow  AB = AC\)   (1)

+) Nếu \(AI = BH\) thì \(ΔABC\) cân tại \(C\) \( \Rightarrow  CA = CB\)    (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(AB = BC = AC\).

Vậy \(ΔABC\) là tam giác đều (điều phải chứng minh).